Los Troyanos --- Actividad 8

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión

            a ≠ b

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

           Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: <+span>

                    1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

                   5 > 0 ;
                  porque 5 - 0 = 5

                  

                      2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

            -9 < 0 ;
              porque -9 -0 = -9

              

                 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

           -10 > -30;
             porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

       Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:

a²+ 3 > a

             Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo:

2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.

          Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

              1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo  número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 5         ----------   -2 >-6         
9 + 2 > 5 + 2 -------    -2 -3 > -6 -3
11 > 7    ------------    -5  > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2

           2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7  ------------   15 > -25
12 * 3 > 7 * 3 -----  15 / 5 >  (-25) / 5
36 > 21   ----------  3 > -5

             3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproca de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15  ----------------- 64 < 80
3(-4) < (-15)(-4) -------  64 / (-4) > 10 / (-4)
-12 < 60  -----------------   -16 >  -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x

              4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b²

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a² < b²

Ejemplo:

7 < 10
7³ < 10³
343 < 1000

             5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:

-ab² < -b³

En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a³ < -b³

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a² > b²

Ejemplos:

-3 > -6 -------------  -8 < -4
(-3)³ > (-6)³   -------   (-8)2 >  (-4)2

-27 > -216  --------    64 > 16

             6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:

a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c"<+span>

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36

              7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b
d > c

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a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d

Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4