espapirifasticamente wuau

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos.

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > 21

15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60

64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b²

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a² < b²

Ejemplo:

7 < 10
7³ < 10³
343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:

-ab² < -b³

En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a³ < -b³

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a² > b²

Ejemplos:

-3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:

a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b
d > c

---

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d

Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4