GaMaGa que aprendimos sobre el cuento....

Aprendimos que no solamente por el hecho de ser más fuerte o ser en este caso  "el rey" le correspodia comer todo, los 3 merecían una división generosa, Y que el castigo esta muy cerca del pecador, a pesar de que el chacal se quedaba sin comer por abastecer del todo al león el no tomo en cuenta su esfuerzo y no agradeciendo y desconfiando del el igual que de el león lo mato...

GaMaGa

sistema de resolución de tres ecuaciones.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO//AZUL Y ORO

Una ecuación de segundo grado es una ecuación de tipo ax2 + bx + c = 0 en la cual a, b, c, son constante y a = 0, en otras palabras es toda ecuación en la cual el mayor exponente es 2.
Ecuación en segundo grado completas son ecuaciones de la forma ax + b +c = 0
Ecuación en segundo grado simples son ecuaciones de la forma ax +c = 0
Diremos que la incompleta si b o c, o ambas a la vez son cero.
Diremos que es completa cuando ninguno de los coeficientes es cero.
- La formula general es:
x = -b + b + 4ac / 2a
Concepto.
La ecuación de segundo grado con una incógnita a la igualdad de que se nos forma al substituir a la “y” de una fusión cuadratura por 0.
Esto es una fusión cuadratica.
Esto es una ecuación en segundo grado.
Tipo de Ecuación de Segundo Grado.
Las ecuaciones de segundo grado son la incógnita pueden ser de cuatro tipo que son las siguientes.
Clasificación de las Ecuaciones.
1.- Ecuaciones Incompletas: Se les llama ecuaciones incompletas de 2° a la forma ax + c = 0 o bien ax + bx = 0,
Ejemplo: 4x - 4 = 0 x1 = 0 + 8 =1
x = - 0 + 0 + 64 8
8
x = 0 + 64 x2 = 0 - 8 = -1
8 8
x = 0 + 8
8
2.- Ecuaciones Completas: Se le llama ecuaciones completas de 2° a la forma ax + bx + c = 0 con a., b, c distintos de 0,
Ejemplo: x - 5x + 6 = 0 x1 = 5 + 1 = 6 = 3
x = 5 + 5 - 4*1*6 2 2
2
x = 5 + 25 - 24 x2 = 5 - 1 = 4 = 2
2 2 2
x = 5 + 1
2 

ECUACIONES SEGUNDO GRADO// AZUL Y ORO

Los Troyanos --- Actividad 8

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión

            a ≠ b

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

           Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: <+span>

                    1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

                   5 > 0 ;
                  porque 5 - 0 = 5

                  

                      2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

            -9 < 0 ;
              porque -9 -0 = -9

              

                 3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

           -10 > -30;
             porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

       Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella

Ejemplo:

a²+ 3 > a

             Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:

Ejemplo:

2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.

          Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

              1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo  número a cada miembro

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 5         ----------   -2 >-6         
9 + 2 > 5 + 2 -------    -2 -3 > -6 -3
11 > 7    ------------    -5  > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2

           2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7  ------------   15 > -25
12 * 3 > 7 * 3 -----  15 / 5 >  (-25) / 5
36 > 21   ----------  3 > -5

             3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproca de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15  ----------------- 64 < 80
3(-4) < (-15)(-4) -------  64 / (-4) > 10 / (-4)
-12 < 60  -----------------   -16 >  -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x

              4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b²

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a² < b²

Ejemplo:

7 < 10
7³ < 10³
343 < 1000

             5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:

-ab² < -b³

En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a³ < -b³

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a² > b²

Ejemplos:

-3 > -6 -------------  -8 < -4
(-3)³ > (-6)³   -------   (-8)2 >  (-4)2

-27 > -216  --------    64 > 16

             6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:

a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c"<+span>

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36

              7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b
d > c

---

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d

Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4

GaMaGa

Desigualdad de Primer Grado en una variable y sus propiedades. PocahontasXimIci

Desigualdades o inecuaciones de primer grado con una incógnita

La expresión

a

b,

quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Desigualdad "es la expresión de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias:

1º Todo número positivo es mayor que cero

2º Todo número negativo es menor que cero

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Sentido de una desigualdad.

Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.

1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

espapirifasticamente wuau

Quiere decir que "a" no es igual a "b". Según los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos.

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente

a + m > b +m

Ejemplos:

9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7

-2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5 > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2

2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7 12 * 3 > 7 * 3 36 > 21

15 > -25 15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 3 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:

3 > -15 3(-4) < (-15)(-4) -12 < 60

64 < 80 64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) -16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b²

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a² < b²

Ejemplo:

7 < 10
7³ < 10³
343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b² se obtiene:

-ab² < -b³

En el primer miembro, reemplazando b² por a², la desigualdad se refuerza; luego se puede escribir:

-a³ < -b³

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y se tiene:

a² > b²

Ejemplos:

-3 > -6 (-3)3 > (-6)3 -27 > -216

-8 < -4 (-8)2 > (-4)2 64 > 16

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:

a = b + c
a' = b' + c'
a" = b" + c"

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"

Ejemplo:

Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo.

Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene

a > b
d > c

---

a + d > b +c

Restando d + c de cada miembro, resulta:

a - c > b -d

Ejemplo:

Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4