Ejercicio Teorema del Residuo y Factor

1°Se quiere conocer el residuo R cuando se divide P (x)= X100+X22 15 entre x-.

R= P (1)0 1100+122 - 15= -13

                                                          

2° Si se sabe que  +1 es una raíz de la ecuación X2-1 =0, podemos decir que (x-1) es un factor de X2-1 es decir que se tiene:

    X2-1= (x-1) Q (x)

                         X2-1/x-1=Q(x)

                        

3° ¿Sera -2 raíz de la ecuación algebraica X2+ x-2=0?

 Hagamos x= -2 en P(x)= X2+x -2=0, se tiene:

                P(-2)=(-2)2+ (-2)-2= 4 -2 -2= 0

     Si, -2 es una raíz de la ecuación X2+x -2=0

     Además (x+2) es un factor de X2+x -2

    Efectivamente: (x-1) (x+2)=x-2

4° Calcula el cociente y el resto de las siguientes ecuaciones

a)     (2x3 – 4x2 +x-1) (x-1)

C(x)= 2X2-2x – 1   R= -2

b)     (6x5- 4x3 + 2x) (x – 5)

C(x)=6x4 + 30x3+ 146x2 + 730x + 352    R=18260

5° Use el teorema del factor para probar que x+1 es un factor de X13+1                      x+1=x –(-1)  asi   y=-1                                                                                                                         p(-1)= (-1)13 + 1 = -1+1 =0                                                                                                                                                                   .   Luego –1 es un cero de P(x)= X13 + 1                                                                                    Así X- (-1)= X+1es un factor de X13 + 1
6°Hállese el residuo de dividir el polinomio P(x)= 4X4 +10X3 +19X+5 entre X+3               X+3 se puede escribir como X-(-3)                                                                          por tanto y= -3 P (-3)=4(-3)4+10(-3)3+19(-3)+5.                                                                                 P (-3)=2    El residuo es 2.
7° Si  y  es un cero del polinomio P(X), entonces X-Y es un factor de P (x).                                    Si   y es un cero de P (X) , P(y)=0                                                                                           Pero por el algoritmo de la división P(X)= (x-y) Q (x) + R..
Como P (y)= 0, P(y)= (y-y) Q (y) + R= 0,
Por tanto, R=0 y P (x) = (x-y) Q(x).

8° (2X3 – 4X2 +x-1)/ (X-1)

9° (6x5 - 4x3 + 2x)/ (x – 5)

10° (x4 – 4x3 + x -2)/ (x-2)

11° (X4 – 4X3 +3x2+2)/ (x+4)

12° (x8-16)/ (x+2)

13° (2x4 + 3x2 + 2X +6)/ (X-2)

14°  (X5 + 24X4 – X2 + 1)/ (X-3)

15° (2X5 – X2 – X -1)/ (X+ 1/3)

Resumen Teorema del Residuo y Factor

Teorema del residuo

Si se divide un polinomio p(x) entre  x ----- c, entonces el residuo constante r esta dado por r =p ©  Ejemplo:

Se quiere conocer el residuo R cuando se divide P (x)=  + - 15 entre x - .

R= P (1)0  +  - 15= -13

   Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teoría global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la formula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias teóricas y prácticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle.

El teorema del residuo permite saber el valor del residuo de una división sin necesidad de efectuar dicha división. Claro que si el residuo es cero, el divisor será uno de los factores del dividendo.

Teorema del factor

Si r es una raíz de ɍ(x) = 0, entonces ɍ (r) = 0. Por tanto, de acuerdo con el residuo del teorema, R es cero en la expresión

F (x) = Q (x) (x-r)

  De esta manera x----r es un factor de f (x) expresión que conduce al teorema del factor.  Si r es raíz de la ecuación racional  entera f (x), = 0, entonces x --- r es factor de f (x).

  Recíprocamente, si x --- r es factor de f (x), entonces el residuo que resulta dividir f (x) entre x --- r es igual a cero. Por tanto, r es raíz de f (x) = 0. De esta manera a continuación se expone reciproco del teorema del factor.

  Si x --- r es factor del polinomio f (x), entonces r es raíz de f (x) = 0.

Los binomios y trinomios pueden descomponerse en factores fácilmente aplicando los procedimientos, aplicando el teorema del factor obtenemos un método para descomponer en factores un polinomio  cualquiera. Si bien  el procedimiento de aplicación del teorema es un proceso de tanteo, es probablemente el método más breve para una expresión complicada.

  El teorema del factor, es una exposición sencilla, es el siguiente: Si al sustituir un numero en la expresión que se desea descomponer, dicha expresión se anula, entonces dicho numero, cambiado de signo, es el ultimo termino de uno de los factores de la expresión. El primer término de este factor binó mico se busca por inspección del primer término de la expresión que se quiere factorizar;  generalmente ese primer término es una letra con exponente 1.

Si se tiene que:  = Q (x) +  

Como el teorema supone que el residuo es cero,  =  = 0 y vale entonces  = Q (x), es decir P (x) = (x –r) Q(x) y se tiene que (x – r) es un factor lineal de P(x) 

RESUMEN DE RADICALES las trollecitas

RADICALES

La palabra radical procede del vocablo latino “radix” (raíz).

Una expresión tal como √2,  ³√5  o √a+b.

Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando.

EJEMPLO1

Suma y resta de radicales.

Solamente pueden sumarse (o restarse) radicales que sean semejantes.

Ejemplo2

 Multiplicación de radicales con el mismo índice

¿Cómo se hace?

Se multiplica los coeficientes entre sí y las cantidades pre radicales entre sí, dando este último producto sobre el signo radical común y se simplifica el resultado.

Ejemplo 3 

Multiplicación de radicales con diferente índice

¿Cómo se hace?

Primero, se determina el mínimo común múltiplo de los índices. Este será el índice de todos los radicales en la operación. En este caso el mínimo común múltiplo sería 20 ya que 4 · 5 = 20.

EjEMPLO4

División de radicales de igual índice

¿Cómo se hace?

Esta operación es conocida también como cociente de radicales. Para dividir los radicales de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se pone el mismo índice en el radical.

Ejemplo 5

División de radicales de diferente índice

(Es también conocida como cociente de radicales. El proceso es bastante similar al de la multiplicación de radicales).

 ¿Cómo se hace?

Hay que determinar el mínimo común múltiplo de los índices. Éste será el índice de todos los radicales del cociente o fracción. En este caso el mínimo común múltiplo es 5.7 = 35. El resultado del mínimo común múltiplo entre cada índice del radical, esa será la cantidad que eleve a las cantidades subradicales de esa raíz.

Ejemplo 6

SEGUNDA SECCIÓN-RESUMEN PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS EQUIPO:DOS CHINOS UN ZOMBIE Y JULIO

 Producto de Binomios Conjugados

Cuando se tiene un producto de dos binomios los cuales tienen los mismos monomios excepto porque el signo de uno de los monomios es diferente para ambos a ese producto se le conoce como binomios conjugados y tiene la forma:

(a + b)(a - b)

Si desarrollamos el producto tenemos:

(a + b)(a - b) = (a)(a) + (a)(-b) + (b)(a) + (b)(-b)
(a + b)(a - b) = aa - ab + ba - bb
(a + b)(a - b) = a² - b²

Lo que se obtiene es el primer monomio elevado al cuadrado con signo positivo y el segundo monomio elevado al cuadrado con signo negativo. Esto se conoce como diferencia de cuadrados. Esta identidad se puede usar en cualquier caso en que se tengan binomios conjugados.

Ejemplo. Obtener el producto de 2x² + y y 2x² - y.
Usando la identidad se tiene que:

(2x² + y)(2x² - y) = (2x²)² - (y)²
(2x² + y)(2x² - y) = 4x⁴ - y²

^{Producto de Dos Binomios Conjugados}

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

(a + b)(a - b) = a² - b²

Ejemplo:

     (3x + 5y)(3x - 5y)=

     (3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y)

         Agrupando términos:

    

     (3x + 5y)(3x - 5y)= 9x^2 - 25y^2

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

SEGUNDA SECCIÓN- EJERCICIOS PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS EQUIPO: DOS CHINOS UN ZOMBIE Y JULIO

1.    ( 1/2x y²z –3xy) (1/2xy²z + 3xy)

2.    (- x + y) (x +y)

3.    (4 ab – 2 cd) (4 ab + 2 cd)

4.    (a +3) (a – 3)

5.    (3 a³ + 4 b²) (3 a³ – 4b²)

            6.    (a+1)(a-1)

            7.    (b+4)(b-4)

            8.    (c+a)(c-a)

            9.    (-x+y)(x+y)

           10. (2x+y)(2x-y)

           11. (a + bc) (a – bc) =

           12.  (5m³ – 7n²) (5m³ + 7n²) =

           13. (xy5 + z) (z – xy5) =

           14. (ab – mn) (mn + ab) =

           15. (na + mb) (na – mb) =

Descomposicion de factores de una diferencia de cuadrados (PocahontasXimIci)

FACTOR
Se llaman factores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre sí dan como resultado la expresión inicial. 
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).


Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

DADA  la diferencia de cuadrados, x² – y², se saca la raíz a los dos términos, considerando la raíz positiva  y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de las dos raíces.

 EJEMPLOS

 La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Operaciones con fracciones algebraicas (Leoparditos)

Operaciones con fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas se comportan de modo similar a las fracciones numéricas. Con ellas también se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, producto y división.

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x)
Q(x)

Suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador

Para sumar o restar fracciones algebraicas con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

 

Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto denominador, se reducen a común denominador y, a continuación, se obtiene el nuevo numerador mediante la suma (o diferencia) de los numeradores obtenidos.

El denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Por último, se simplifica, si es posible, el resultado.

 

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos o más fracciones algebraicas es otra fracción algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores.

 

División de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica, cuyo numerador es el producto del numerador de la fracción dividendo por el denominador de la fracción divisor y cuyo denominador es el producto del denominador de la fracción dividendo por el numerador de la fracción divisor.

Para dividir dos fracciones algebraicas también se puede multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.