Resumen Teorema del Residuo y Factor

Teorema del residuo

Si se divide un polinomio p(x) entre  x ----- c, entonces el residuo constante r esta dado por r =p ©  Ejemplo:

Se quiere conocer el residuo R cuando se divide P (x)=  + - 15 entre x - .

R= P (1)0  +  - 15= -13

   Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminación de lo que hemos encuadrado bajo el nombre genérico de ‘teoría global de Cauchy’. Incorpora y extiende al teorema de Cauchy y a la formula de Cauchy, y tiene innumerables consecuencias teóricas y prácticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales reales y sumas de series, limitándonos a señalar referencias donde encontrar el tema desarrollado en detalle.

El teorema del residuo permite saber el valor del residuo de una división sin necesidad de efectuar dicha división. Claro que si el residuo es cero, el divisor será uno de los factores del dividendo.

Teorema del factor

Si r es una raíz de ɍ(x) = 0, entonces ɍ (r) = 0. Por tanto, de acuerdo con el residuo del teorema, R es cero en la expresión

F (x) = Q (x) (x-r)

  De esta manera x----r es un factor de f (x) expresión que conduce al teorema del factor.  Si r es raíz de la ecuación racional  entera f (x), = 0, entonces x --- r es factor de f (x).

  Recíprocamente, si x --- r es factor de f (x), entonces el residuo que resulta dividir f (x) entre x --- r es igual a cero. Por tanto, r es raíz de f (x) = 0. De esta manera a continuación se expone reciproco del teorema del factor.

  Si x --- r es factor del polinomio f (x), entonces r es raíz de f (x) = 0.

Los binomios y trinomios pueden descomponerse en factores fácilmente aplicando los procedimientos, aplicando el teorema del factor obtenemos un método para descomponer en factores un polinomio  cualquiera. Si bien  el procedimiento de aplicación del teorema es un proceso de tanteo, es probablemente el método más breve para una expresión complicada.

  El teorema del factor, es una exposición sencilla, es el siguiente: Si al sustituir un numero en la expresión que se desea descomponer, dicha expresión se anula, entonces dicho numero, cambiado de signo, es el ultimo termino de uno de los factores de la expresión. El primer término de este factor binó mico se busca por inspección del primer término de la expresión que se quiere factorizar;  generalmente ese primer término es una letra con exponente 1.

Si se tiene que:  = Q (x) +  

Como el teorema supone que el residuo es cero,  =  = 0 y vale entonces  = Q (x), es decir P (x) = (x –r) Q(x) y se tiene que (x – r) es un factor lineal de P(x)